equazione parabola

[marcomasetti]

Questo problema è molto più semplice delle equazioni di grado tre. Lo studiavamo nei primi anni di liceo e lo si studia ancora, Lo allego in questo post perché può aiutare a capire come si programma in GDL per costruire semplici curve algebriche

Parabole del secondo grado

Un polinomio di secondo grado in x, eguagliato ad y, rappresenta sul piano cartesiano una parabola con asse verticale:
y = a2*x^2 + a1*x + a0
Con a2>0 la concavità è rivolta verso l’alto, ovvero verso le y positive, perché per valori elevati di x prevale il termine di secondo grado, cioè a2, rispetto i rimanenti.
L’ascissa del suo vertice si ricava uguagliando a zero la sua derivata:
y’ = 2*a2*x + a1
xv=-a1/a2/2
Le radici x1,x2 del polinomio devono soddisfare le equazioni:
x^2 + a1/a2*x + a0/a2 = 0
(x-x1)*(x-x2)=0   x^2 – (x1+x2)*x + x1*x2
x1+x2= -a1/a2
x1*x2= a0/a2
da cui si ricava la classica formula, conosciuta sin dall’antichità, utilizzata per risolvere le equazioni di secondo grado:
d= (a1/a2)^2/4- a0/a2
x1=- a1/a2/2-sqr(d) = xv- sqr(d)
x2=- a1/a2/2+sqr(d) = xv+ sqr(d)
Per d>0, il valore sqr(d) rappresenta l’intervallo, misurato sull’orizzontale, tra il vertice e le intersezioni con l’asse x.  Per d=0 la parabola risulta tangente all’asse x.   Con d<0 la parabola non taglia l’asse x.
Dal punto di vista algebrico questa è la curva più semplice; inoltre, come accade per la circonferenza, tutte le parabole sono autosimili, nel senso che si possono trasformare una nell’altra per semplice ingrandimento o riduzione.
La parabola inoltre risulta tangente all’infinito, dove si chiude.   Pertanto la rappresentazione prospettica di una parabola può essere un cerchio tangente alla linea di orizzonte.