Funzioni composte.

[marcomasetti]

Una funzione composta si ricava da una funzione primaria f(x)che a sua volta è funzione non di una variabile x, ma di una ulteriore funzione secondaria g(x):
y=f( (g(x) ).
Concretamente, la curva definita dalla y=f( (g(x) ) è la medesima curva y=f(x) che subisce una distorsione a fisarmonica, addensandosi o dilatandosi nel senso delle x.
In particolare se le funzioni sono definite in un intervallo [0,h] succede questo:
nelle parti dove la curva y=g(x) si trova al di sopra della bisettrice y=x del primo quadrante,
la funzione composta y=f( (g(x) ) si comprime verso l’origine,
nelle parti dove la curva y=g(x) si trova al di sotto della bisettrice y=x del primo quadrante,
la funzione composta y=f( (g(x) ) si sposta verso destra, nel senso delle x+ (positive).
I punti ove risulta g(x)=x non si muovono.

Chiarisco con un esempio come funziona la cosa.
Sia        g(x)=a2*sin(180/h*p2*x)+x       (1)      definita in [0,h],
per p2=1, la curva si trova tutta sopra alla bisettrice y=x, salvo gli estremi ove la tocca.

Data una funzione y=f(x), la funzione composta con la (1) si troverà schiacciata verso O con a2>0.

Se prendiamo come funzione primaria ancora una volta la sinusoide:
f(x)=a1*sin(180/h*p1*x)
la funzione composta diventa:
f(x)=a1*sin(180/h*p1* (   a2*sin(180/h*p2*x)+x   ) )

Succederà che i picchi dell’onda si sposteranno verso sinistra, tendendo a concentrasi su O.
Occorre però non alzare troppo il valore a2, perché se i valori di:
y=a2*sin(180/h*p2*x)+x   
superano il valore y=h,  si formano ulteriori flessi e nuovi picchi.

Se risulta p1=p2=p i picchi delle onde si mantengono equidistanti, per qualsiasi valore della frequenza p, ma non saranno più posizionati in modo simmetrico.

Esempi di riferimento allegati:
parabola composta.gsm
La funzione primaria è un arco di parabola, quella secondaria la funzione potenza y=x^n :
con esponente 0<n<1 si crea un arco asimmetrico con vertice spostato a sinistra,
con esponente n>1 si crea un arco asimmetrico con vertice spostato a destra.
Gli artisti come Gaudì, pur basandosi sulla sola intuizione, costruivano archi parabolici e asimmetrici.

sinus composto.gsm
E’ la funzione sinus composta ancora con sinus+x come nell’esempio. Si possono creare curve frastagliate con tipologie molto diverse, ma se non si fa variare in funzione di x anche l’ampiezza della sinusoide primaria:   a1=a1(x),  l’altezza delle creste rimane costante.

crf composta.gsm
La funzione primaria è un arco a tutto sesto, quella secondaria è un quarto di circonferenza .
L’ arco asimmetrico che si origina ha il vertice fortemente decentrato, per effetto della curva secondaria scelta, che ha tangente orizzontale per x=h.