Triangoli

[marcomasetti]

Una operazione di fondamentale importanza nel disegno e nella topografia è sapere costruire triangoli.
Per costruire un triangolo occorrono tre elementi, lati o angoli, di cui almeno uno deve essere un lato.
Consideriamo quattro casi.
1)   Costruire il  triangolo ABC dati 2 lati e l'angolo compreso.
Dati:       lato BC=la
                lato AB=lc
                 angolo ABC=be   
Richieste:  lato AC=lb
                   angolo BCA=ga
                   angolo CAB=al

Consideriamo l’altezza h ortogonale al lato CB, risulta:
h=lb*sin(ga)= lc*sin(be)     (1)
Proiettando poi ortogonalmente i lati AC e AB lungo il lato BC risulta:
la=lb*cos(ga)+lc*cos(be)    (2)
Dal sistema di  (1) e (2), isolando prima lb, dopo diversi passaggi si ottiene:

lb=sqr(la^2+lc^2-2*la*lc*cos(be))
ga=asn(lc/lb*sin(be))     ( angolo opposto a AB )
al=asn(la/lb*sin(be))     (angolo opposto a BC:  al=180-ga-be )

L’oggetto GDL di verifica delle formule è:
triang dati La,Lc,be.gsm

2)   Costruire il  triangolo ABC dati 2 lati e un angolo non compreso tra essi.
Dati:       lato AB=lc
                lato BC=la
                 angolo BCA=ga
Richieste:  lato AC=lb
                 angolo CAB=al
                 angolo ABC=be   
Consideriamo l’altezza h ortogonale al lato AC, risulta:
h=la*sin(ga)= lc*sin(al)     (1)
Proiettando poi ortogonalmente i lati BC e AB lungo il lato AC risulta:
lb=la*cos(ga)+lc*cos(al)    (2)
Dal sistema di  (1) e (2) si ricava:
lb=la*cos(ga)+sqr(lc^2-(la*sin(ga))^2)   (misura terzo lato)
al=asn(la/lc*sin(ga))    (angolo opposto a la)
be=180-al-ga                (angolo opposto a lb)

L’oggetto GDL di verifica delle formule è:
triang dati La,Lc,ga.gsm

3)   Costruire il  triangolo ABC dati 3 lati.
Dati:       lato AB=lc
                lato BC=la
                lato AC=lb
Richieste:  angolo BCA=ga                 
                   angolo ABC=be
                   angolo CAB=al
 
Consideriamo un sistema cartesiano con origine degli assi in C e asse x sovrapposta a CB.
Costruiamo le circonferenze di raggi lb e lc centrate rispettivamente in C=(0,0) e B=(0,la).
Si ottiene il sistema di equazioni:
y=sqr(lb^2-x^2)
y=sqr(lc^2-(x-la)^2)
la cui soluzione dà le coordinata di A=(xA,yA)
Il segmento (xA,0) -(xA,yA) costituisce l’altezza h rispetto il lato BC, per cui:
tan(ga)=yA/xA
tan(be)=yA/(la-xA)

In conclusione si ricava:
xA=(la^2+lb^2-lc^2)/(2*la)                (piede altezza h, rispetto CB, misurato da C)
yA=sqr(2*(la*lb)^2+2*(lb*lc)^2+2*(lc*la)^2-la^4-lb^4-lc^4)/(2*la)     (altezza h)

ga=atn(sqr(2*(la*lb)^2+2*(lb*lc)^2+2*(lc*la)^2-la^4-lb^4-lc^4)/(la^2+lb^2-lc^2))
be=atn(sqr(2*(la*lc)^2+2*(lb*lc)^2+2*(lb*la)^2-la^4-lb^4-lc^4)/(la^2+lc^2-lb^2))
(be è ottenuto da ga, sostituendo lb con lc)
al=180-be-ga

L’oggetto GDL di verifica delle formule è:
triang dati i lati.gsm

4)   Dati due angoli e un lato determinare il triangolo ABC

Dati:    lato BC=la
             angolo BCA=ga                 
             angolo ABC=be
 
Richieste:  lato AC=lb
                    lato AB=lc
                    angolo CAB=al

Consideriamo un sistema cartesiano con origine degli assi in C e asse x sovrapposta a CB.
Costruiamo due rette corrispondenti ai lati lb e lc:
La prima ha coefficiente angolare tan(ga) e passa per (0,0)
La prima ha coefficiente angolare -tan(be) e passa per (la,0)
y=tan(ga)*x
y= -tan(be)*(x-a)
Risulta:
xA=la*tan(be)/(tan(ga)+tan(be))    (piede altezza h rispetto CB, misurato da C)
yA=la*(tan(ga)*tan(be))/(tan(ga)+tan(be)) (altezza h, rispetto CB)

I valori richiesti sono:
lb=la*tan(be)/((tan(ga)+tan(be))*cos(ga)) !lungh. lato AC
lc=la*tan(ga)/((tan(ga)+tan(be))*cos(be)) !lungh. lato BA
al=180-be-ga

L’oggetto GDL di verifica delle formule è:
triang dati lato,2 ang.gsm (non allegato)

Nel costruire gli oggetti gsm 2D si è utilizzato:
ARC2    ascissa centro,ordinata centro, raggio, angolo iniziale, angolo finale
I valori angolari di ARC2 sono riferiti a x, in senso antiorario.
Si fissa pertanto il primo valore angolare di riferimento (angolo iniziale) e a questo si somma l’ampiezza dell’angolo al centro dell’arco (angolo finale).