curva di Bèzier

[marcomasetti]

Nella grafica vettoriale 2D è di uso comune la curva di Bèzier, definita dalle tangenti, angolo e lunghezza rispettive, posizionate sugli estremi. Tale curva è algebrica del quarto ordine e deriva da una combinazione di curve di ordine inferiore. La curva di Bèzier del primo ordine è definita da un segmento di estremi 1=(x1,y1)  e  2=(x2,y2).  Su tale segmento si immagina un punto mobile P che nell’intervallo di tempo t :(0,1) si sposta con moto uniforme da 1  a 2.
Giustapponiamo due di tali segmenti, in modo che si tocchino in V:
1-V=(x1,y1), (xv,yv)
V-2=(xv,yv), (x2,y2)
Per t=0 i due punti mobili P’,P” pertinenti a ciascun segmento si trovano rispettivamente in 1 e in V, nello trascorrere del tempo nell’intervallo (0,1) si spostano fino a giungere rispettivamente in V e in 2.
Colleghiamo con un segmento mobile i due punti in movimento P’,P”.  All’interno di questo segmento consideriamo un terzo punto mobile P  nell’intervallo di tempo t:(0,1)  si sposta da 1 a 2. La traiettoria di P descrive una curva di Bèzier del 2° ordine, che è un ramo di parabola, come risulta evidente dalla costruzione, infatti si collegano due segmenti suddivisi in parti uguali. Tale configurazione corrisponde ad una proiezione assonometrica del paraboloide iperbolico, il cui profilo è appunto una parabola. Il vertice V corrisponde all’ intersezione delle tangenti all’arco spiccate in 1 e 2.
 
Ripetiamo ora lo stesso ragionamento non più con due segmenti, ma con due archi di parabola costruiti in tal modo, con estremi 1 e 2 coincidenti, ma con i vertici delle tangenti agli estremi distinti: V=(xv,yv),W=(xw,yw).   Il risultato è l’arco di Bèzier in uso nella grafica e nel comando spline di Archicad.
 
Per avere una curva di Bèzier del terzo ordine, cioè una parabola cubica, occorre applicare lo stesso ragionamento ad un segmento e ad un arco di parabola.
Il testo 2D degli oggetti GDL allegati mostra come si traduce nel linguaggio GDL l’equazione parametrica delle curve:
x=x(t), y=y(t),  t compreso in (0,1)
Si mostra inoltre la differenza tra il comando spline2a, che genera questo tipo di curva, e il risultato dello script analitico.  L’utilità dello script analitico, anche se laborioso, è la possibilità di estenderlo a forme 3D.