Determinanti e sistemi lineari

[marcomasetti]

La relazione tra algebra e geometria è molto stretta, dato che il calcolo vettoriale permette di costruire enti paralleli od ortogonali, come permette di calcolare distanze ed angoli. Questo è il compito della geometria descrittiva, ma il calcolatore prima elabora dati numerici, poi realizza i "disegni", mentre sul foglio, come gli antichi greci, noi ragioniamo con il compasso e con la riga, non con l'algebra.
La geometria del piano è ovviamente molto più semplice di quella dello spazio. Infatti aggiungere una dimensione non consiste nella sola aggiunta di uno spessore (o estrusione) a partire da una figura piana: l'aggiunta di una dimensione crea situazioni del tutto nuove, inconcepibili nel mondo 2D. A questo proposito, nella seconda metà dell’Ottocento, quando i matematici cominciarono a studiare gli spazi iperdimensionali, Abbott, con il racconto "Flatlandia", cercò di divulgare il concetto dell’irriducibilità di una struttura di dimensioni superiori ad uno spazio di dimensione inferiore. Per tale motivo l'algebra vettoriale 2D non presenta quelle lungaggini di calcoli e  di formule che richiede quella 3D, anche solo nello stabilire le relazioni metriche e spaziali degli enti elementari.
Da un punto di vista logico le formule 2D si possono ricavare dalla semplificazione di quelle 3D, ma dal punto di vista didattico si parte ovviamente dal semplice per arrivare al complesso. Chi conosce l'uso del linguaggio informatico, ma è poi è arrugginito su quello algebrico, può rinfrescare alcuni semplici concetti, che non sono mai banali.
Ad esempio, per intersecare una retta con un piano, occorre risolvere un sistema di tre equazioni: per tale motivo occorre elaborare una tabella di calcolo che risolve il problema. Le formule si allungano, ma il calcolatore, che è veramente mostruoso, interpreta il tutto in tempi trascurabili. Comunque, mentre il modo di affrontare la geometria degli antichi greci  ha creato l'armonia dell'arte classica, il metodo cartesiano, basato sul calcolo, ha prodotto generazioni di ingegneri che hanno abbruttito il paese (e il mondo). Tuttavia oggi si vorrebbe recuperare l'antico: l'ideale sarebbe riuscire ad armonizzarlo con le mostruosità tecniche. Voglio solo fare notare che anche l'algebra, discendendo (anche storicamente) dalla geometria, presenta una sua armonia ed una ricorrenza non di forme, ma di formule. Infatti per verificare se certe formule sono corrette, non sono sufficienti gli strumenti messi a disposizione dal programma: infatti il computer, che non ammette errori, rileva un errore, ma non riesce quasi mai a dirmi in cosa consiste l'errore. Per scoprire dove ho commesso uno sbaglio, a volte basta osservare se sussiste una certa regolarità delle formule.
Le matrici sono fondamentali nello studio degli spazi vettoriali, che sono la base della geometria e della fisica moderna. I determinanti sono pure fondamentali: Il determinante è un valore numerico che si associa ad una matrice quadrata. Per ricavarlo si consideri la matrice di ordine n, composta di n^2 elementi.
Per ogni riga si estragga un solo elemento, al termine si otterranno n elementi che vanno moltiplicati tra loro. Le combinazioni possibili sono n!, cioè n fattoriale. Sommando tali combinazioni, provviste di segno, secondo la teoria delle permutazioni, si ha il valore del determinante, composto di n! somme di n prodotti.
Una matrice di ordine 5 avrà 5*4*3*2=120 somme di prodotti con 5 fattori ciascuno.
Per calcolare praticamente un determinante si considerano gli elementi della prima riga. Per ogni elemento, si elimina la colonna che lo comprende e si calcola il determinante della matrice sottostante che si viene a creare, ridotta ad un ordine più basso. Questo va moltiplicato all’elemento della prima riga in considerazione, attribuendogli il segno negativo se occupa una posizione pari.

Il determinante della matrice di ordine 2 si ottiene semplicemente:
a11   a12
a21   a22
determinante=a11*a22-a12*a21

Il determinante della matrice di ordine 3 si ricava ragionando su 3 determinanti di 3 matrici di ordine 2, costruiti con il metodo descritto di cancellazione della prima riga e di una colonna:
a11   a12   a13
a21   a22   a23
a31   a32   a33
determinante=a11*(a22*a33-a23*a32)-a12*(a21*a33-a23*a31)+a13*(a21*a32-a22*a31)

Il determinante della matrice di ordine 4 si ricava ragionando su 4 determinanti di 4 matrici di ordine 3:
a11   a12   a13   a14
a21   a22   a23   a24
a31   a32   a33   a34
a41   a42   a43   a44

d1=a22*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a32*a44-a34*a42)+a24*(a32*a43-a33*a42)
d2=a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41)
d3=a21*(a32*a44-a34*a42)-a22*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a42-a32*a41)
d4=a21*(a32*a43-a33*a42)-a22*(a31*a43-a33*a41)+a23*(a31*a42-a32*a41)

determinante= a11* d1-a12*d2+a13*d3-a14*d4

Il determinante della matrice di ordine 4 si ricava in modo analogo, mentre la formula si complica sempre di più.  Il determinante di ordine 5 presenta uno script esageratamente lungo, anche se il calcolatore non ha difficoltà a decifrarlo. La difficoltà è stata piuttosto nello scriverlo senza fare errori.

I determinanti sono utili per risolvere sistemi di equazioni lineari tramite il metodo di Cramer.
Consideriamo il sistema:
a11*x1 + a12*x2 + … + a1n*xn = b1
a21*x1 + a22*x2 + … + a2n*xn = b2
                                  …
an1*x1 + an2*x2 + … + ann*xn = bn

Sia D il determinante della matrice dei coefficienti, mentre Di sia il determinante della  matrice ottenuta sostituendo la colonna i con la colonna dei termini noti bi.  La soluzione è allora fornita da:
x1=D1/D,  x2=D2/D, …   xn=Dn/D