Retta in coordinate omogenee

[marcomasetti]

Retta nel piano proiettivo

Nella geometria proiettiva, oltre ai punti comuni o propri, vengono introdotti i punti impropri, corrispondenti alle direzioni che può assumere una retta.  Nel piano o nello spazio cartesiano i punti impropri non possono essere rappresentati come punti comuni, ovvero tramite le coordinate cartesiane. Tuttavia, grazie ad un artificio, che è l’introduzione delle coordinate omogenee, pure i punti impropri possono essere rappresentati analiticamente. Una equazione algebrica in coordinate omogenee si ottiene introducendo una ulteriore variabile che rende il polinomio omogeneo, cioè con tutti i termini nel medesimo grado. Così facendo, però, si aumenta di una dimensione lo spazio contenitore.
Ad esempio la retta di equazione  a*x+b*y+c=0, definita sul piano xy, viene sostituita dal piano   a*x+b*y+z=0, definito entro lo spazio xyz, introducendo la terza coordinata z.   Tale piano esce dall’origine O in 3D.  Tagliandolo con il piano di equazione z=1, si ottiene nuovamente l’equazione originaria a*x+b*y+c=0 sul piano 2D.   Con z=0 si ricava:  a*x+b*y =0, che è l’equazione, in coordinate omogenee, del punto improprio della retta 2D data.  Posto ad esempio x=1, esso rappresenta il vettore: (1,-a/b).   In realtà, qui si tratta non di un punto, ma di una raggio in 3D, uscente dall’origine, ottenuto tagliando il piano   a*x+b*y+z=0  con il piano coordinato xy di equazione z=0.   Introdurre le coordinate omogenee sul piano, significa dunque sostituire i punti 2D con raggi uscenti da un centro di proiezione coincidente con l’origine 3D, mentre il piano contenitore originario 2D viene posto in quota z=1.  Un punto (x,y,z) in 3D continua a trovarsi sullo stesso raggio per O, anche se viene moltiplicato di un fattore t: (t*x, t*y, t*z), pertanto, identificando sempre un unico raggio, tali punti, distinti in 3D, corrispondono ad un unico punto sul piano 2D di equazione z=1. Per tale motivo, in coordinate omogenee, le terne (x,y,z) e (t*x, t*y, t*z) rappresentano un unico punto bidimensionale, in quanto corrispondono entrambe ad un unico raggio proiettante in 3D. Le coordinate omogenee sono pertanto definite a meno di un fattore di proporzionalità, in quanto pur essendo rappresentate con una terna, di fatto sono bidimensionali in senso parametrico. In effetti rappresentano la direzione di un raggio nello spazio, che è definita sempre da due valori, ad esempio azimut e altitudine.
Se z è nullo, il raggio giace sul piano orizzontale xy e quindi non può tagliare il piano z=1; tale raggio, utilizzando la terminologia in uso nella prospettiva, identifica un punto di fuga, posto all’infinito: per tale motivo una terna con z=0 rappresenta un punto improprio.

L'equazione 2D:
a*x+b*y+c=0
tradotta in coordinate omogenee 3D diventa pertanto:
a*x+b*y+c*z=0
equivalente a un piano proiettante con vettore normale (a,b,c) equivalente a (a/c,b/c,1), con c non nullo.
Se c fosse nullo tale vettore (a,b,0) sarebbe parallelo al piano xy, il che significherebbe che il piano proiettante sarebbe verticale, contenendo l’asse z. Pertanto la retta r corrispondente dovrebbe attraversare l’origine.

Sia N l’intersezione del vettore (a,b,c) con il piano contenitore 2D di equazione z=1.
Tale punto N=(a/c,b/c,1), risulta l'antipolo della retta r, rappresentata dall'equazione data, sul piano z=1,
rispetto il cerchio verticale di raggio 1 centrato sull'origine.

Il raggio del cerchio è medio proporzionale tra la distanza dell’antipolo N e la distanza dell’antipolare r, rispetto il centro del cerchio medesimo. Dato che in questo caso il raggio è 1, queste due ultime misure sono inverse.
Pertanto r dista dall'origine del valore d=-c/sqr(a^2+b^2).

Il punto di minima distanza di R dall'origine O’ ha coordinate:
xr=-c*a/(a^2+b^2)
yr=-c*b/(a^2+b^2)
come si verifica confrontando le coppie di triangoli simili con ipotenuse NO’ e O’ R.
Di fatto abbiamo riottenuto le formule ricavate operando in 2D, ragionando qui però in termini tridimensionali. In più abbiamo considerato che ad ogni retta sul piano corrisponde un determinato punto antipolare e viceversa, punto che però dipende dal sistema di riferimento adottato.
Per quanto riguarda i piani in 3D si può ragionare in modo analogo, ma non possiamo descrivere la situazione in termini intuitivi, perché lo spazio proiettivo 3D ha l’iperspazio 4D come contenitore dei raggi.

L’oggetto di riferimento è:
costruzioni 2D/retta ax+by=-c.gsm