Ulteriori considerazioni sull’interpolazione tra curve 7

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Nel caso di una vasca, invece, che è solitamente contornata da piastrelle, si può invece usare questa tipologia di superficie.
interpolaz.3°_2x1es.gsm
Nell’esempio è stata usata una curva di sezione composta di tre linee, due del tipo di Bézier con un segmento suddiviso in parti al centro, mentre quelle trasversali sono composte con due curve di Bézier simmetriche. La superficie che si ottiene forma 4 collinette sugli spigoli. Questo è dovuto al fatto che alzandosi la sezione centrale relativa ai bordi, ne deriva un flesso che crea un massimo relativo interno. Non è possibile costruire una primitiva di questo tipo con curve di interpolazione che presentino tangenti. Lo script diviene ancora più complesso e la parte relativa alle tangenti non influisce sul risultato. In questo caso particolare, dato che la curva di sezione è stata costruita invertendo simmetricamente la curva per x<0, si può variare il parametro tj senza rendere asimmetrica la superficie. In tal modo viene riflessa una porzione della nuova curva algebrica, che non è più simmetrica rispetto xz, avendo introdotto un valore di tj diverso da ½.  Possiamo così utilizzare per tj una funzione di i, oppure un valore diverso da ½.  In un esempio successivo mostro come varia la superficie in funzione dei valori attribuiti a tj tramite un fattore k. Naturalmente questi parametri danno risultati inaspettati e casuali.
interpolaz.3°_2x1es1.gsm

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Questi oggetti parametrici, costruiti con funzioni matematiche, in realtà non sono un unico oggetto, ma una infinità di oggetti, con strutture formali anche molto diverse tra loro. Di fatto sono una collezione di sculture digitali. Presento alcune tipologie che scaturiscono dall'ultimo oggetto qui presentato.

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Gli scripts per costruire queste superfici sono molto complessi, ma possono essere notevolmente semplificati non esplicitando le curve trasversali, ma soltanto i loro nodi di attraversamento. In questo caso, però, le curve destra e sinistra, fn e gn, devono essere dello stesso tipo della curva di Bèzier che collega le curve frontali fm e gm.  Non è necessario che siano costruite esattamente nello stesso modo, infatti la formula funziona anche con curve algebriche per fn,gn di ordine vicino a quella usata per l’interpolazione e formulate in modo diverso.  Come si verifica dagli esempi sottostanti, in questo tipo di approssimazione, basta definire la sola formula per rf:
interpolaz.3°_2x2bis.gsm
interpolaz.4°_3x2bis.gsm
interpolaz.4°_3x3bis.gsm

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Esiste comunque un altro modo per costruire una superficie che attraversa una curva data.  Si tratta di una
soluzione più pratica, che permette di semplificare il problema per forme il cui contorno non è troppo dissimile da un cerchio, pure deformato, ovvero senza curve concave sui lati.  Dato che il problema viene complicato dalle curve laterali Fn e Gn, possiamo spezzarle in due parti ciascuna ed incollare una delle rispettive parti alle curve Fm e Gm ad esse adiacenti.  In tal modo si ottengono due nuove curve Fm e Gm che costituiscono una forma chiusa. Esse si toccano nei nuovi punti A e B, corrispondenti ai nodi dove abbiamo tagliato le curve originarie Fn,Gn.  Consideriamo questi nodi come le nuove curve Fn,Gn ponendo A=C e B=D.  Praticamente in A e in B si sovrappongono n+1 nodi e n segmenti di collegamento o edges, con lunghezza 0.
Le nuove equazioni per Fn e Gn sono pertanto funzioni costanti: Fn=A, Gn=B.  A questo punto possiamo inserire una o più curve interne C1,C2,… ed è possibile costruire la superficie mediante interpolazione tra le curve: Fm, C1,C2,…,Gm, considerate come punti,  utilizzando il parametro j variabile da 1 a m. Il parametro i, variabile da 1 a m, entra in gioco nella costruzione delle curve Fm(i), C1(i),C2(i),…,Gm(i).
Se la curva interna fosse chiusa, basta tagliarla in due parti e considerare ciascuna delle parti come indipendente. Tutte le curve, interne o esterne, devono seguire lo stesso orientamento ai fini di applicare la primitiva:
Elencare n+1 sequenze di m+1 vertici
VERT x,y,z
La prima sequenza di m+1 vertici rappresenta la curva Fm (j=0)
L’ultima sequenza di m+1 vertici rappresenta la curva Gm (j=m)
j2= !bit,1=sup.liscia
 !vedi formula (2)  in Interpolazione lineare tra curve
Esempi di applicazione di questo metodo sono:
Coons A=C B=D
Coons A=C B=D_1
coons_gen.gsm

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Ulteriori oggetti di riferimento:
coons_Béz_2°.gsm
coons_Béz_3°.gsm
sedia_Bez_2